函数f（x）=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]，总有f（x）≥0成立，则a=（　　） A.1 B.2 C.3 D.4

题目

函数f（x）=ax³-3x+1对于x∈[-1，1]，总有f（x）≥0成立，则a=（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案

函数f（x）=ax³-3x+1对于x∈[-1，1]，总有f（x）≥0成立，即ax³-3x+1≥0恒成立，
①当x=0时，显然ax³-3x+1≥0成立，此时a∈R；
②当0＜x≤1时，ax³-3x+1≥0即a≥

3x−1

x3

，等价于a≥(

3x−1

x3

)max，
令f（x）=

3x−1

x3

，则f′（x）=

3−6x

x4

，
当0＜x＜

1

2

时，f′（x）＞0，f（x）递增；当

1

2

＜x≤1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
∴f（x）_max=f（

1

2

）=

3 2 −1

1 8

=4，
∴a≥4；
③当-1≤x＜0时，ax³-3x+1≥0即a≤

3x−1

x3

，等价于a≤(

3x−1

x3

)min，
此时f（x）=

3x−1

x3

，f′（x）=

3−6x

x4

＞0，f（x）递增，
∴f（x）_min=f（-1）=

−3−1

(−1)3

=4，
∴a≤4；
综上所述，a=4．
故选D．