一个四位数拔abcd且拔ab*拔cd是拔abcd的因数.求拔abcd=?
题目
一个四位数拔abcd且拔ab*拔cd是拔abcd的因数.求拔abcd=?
答案
设两位数ab=x,两位数cd=y,则四位数abcd=100x+y,并设100x+y=kxy
显然10≤x,y<100
(kx-1)y=100x
∴y=100x/(kx-1)
∴ky=100kx/(kx-1)=[(100kx-100)+100]/(kx-1)=100+100/(kx-1)
由于ky正整数,因此100/(kx-1)是正整数,从而kx-1是100的因数
当k≥6时,100>x>10,kx-1>50,从而kx-1=100,kx=101,但101是质数,此时无满足条件的x值
当k=1时,y=100+100/(x-1)>100,不合题意
当k=2时,y=50+50/(2x-1),此时2x-1是50的两位数奇数因数,即2x-1=25,得x=13,y=52,所求的四位数为1352
当k=3时,3y=100+100/(3x-1),此时3x-1≥30-1=29,且是100的因数,即3x-1=50,得x=17,y=34,所求的四位数为1734
当k=4时,y=25+25/(4x-1),由于4x-1≥40-1=39,因而25/(4x-1)不可能是整数,此时无解
当k=5时,y=20+20/(5x-1),由于5x-1≥50-1=49,因而20/(5x-1)不可能是整数,此时无解
综上所述,所求的四位数有两个:1352或1734
举一反三
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