双曲线x^2/4-y^2=1的两个焦点为F1,F2,点M在双曲线上,△F1MF2的面积为根号3,则向量MF1*向量MF2等于?

题目

双曲线x^2/4-y^2=1的两个焦点为F1,F2,点M在双曲线上,△F1MF2的面积为根号3,则向量MF1*向量MF2等于?

答案

双曲线中,a^2=4,b^2=1所以c^2=a^2+b^2=5所以c=根号5
假设M坐标为（x,y)
则：三角形F1MF2的高为|y|,底边2根号5
由1/2|y|*2根号5=根号3
得到y^2=3/5
因为x^2/4-3/5=1所以x^2=32/5
因为MF1=(-根号5-x,-y)
向量MF2=(根号5-x,-y)
所以向量MF1*向量MF2=(根号5-x)(-根号5-x)+y*y=x^2-5+y^2=32/5-5+3/5=2
注意到结果中只有x^2和y^2,因此和x,y的正负,也即M的位置无关