月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1/6,地球半径是月球半径的4倍,若已知人造地球卫星的第一...

题目

月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1/6,地球半径是月球半径的4倍,若已知人造地球卫星的第一...
月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1/6,地球半径是月球半径的4倍,若已知人造地球卫星的第一宇宙速度为
v1,求登月舱靠近月球表面环绕月球运行的速度.

答案

设：地球的重力加速度是g,月球的半径是r.
则：月球的重力加速度是g/6,地球的半径是4r.
同时设：登月舱质量是m,地球质量是M地,月球质量是M月,万有引力常数是G,绕月飞行速度是v.
1、在地球时：
G(M地)m/[(4r)^2]=[m(v1)^2]/(4r)
有：G=[4r(v1)^2]/(M地)
2、在月球时：
G(M月)m/(r^2)=(mv^2)/r
有：G=r(v^2)/(M月)
而G为常数,因此有：[4r(v1)^2]/(M地)=r(v^2)/(M月)
整理：v=2(v1)[(M月)/(M地)]
G(M地)m/[(4r)^2]=mg
G(M月)m/(r^2)=m(g/6)
解得：M地=(16gr^2)/G,M月=(gr^2)/(6G)
因此：
v=2(v1)[(M月)/(M地)]
v=2(v1)[(gr^2)/(6G)]/[(16gr^2)/G]
v=16(v1)/3
v=(16/3)(v1)
答：登月舱靠近月球表面环绕月球运行的速度是(16/3)v1.