1,设a＞1,函数f(x)=a的x+1的次方-2

题目

1,设a＞1,函数f(x)=a的x+1的次方-2
（1）求f(x)的反函数
(2)若f^-1(x)在大于等于0小于等于1上的最大值与最小值互为相反数,求a的值
2,已知a的F（X）次方=1+a的x次方（a＞0且a不等于1）
（1）求f(x)与f^-1(x)的表达式及定义域
（2）解关于x的不等式f(x)大于等于f^-1(2x)

答案

（1）f^-1(x)=㏒a（x+2）-1 其中x＞-2
（2）由于f（x）是单调增加的函数,故f^-1(x)也是单调增加的
所以f^-1(x)在0≤x≤1的闭区间上有最大值和最小值
且f^-1(0)是最小值,f^-1(1)是最大值
又f^-1(0)+f^-1(1)=0
代入可得㏒a6=2
因为a＞1,故a=根号6
（1）两边同时取关于a的对数
可得f（x）=㏒a（1+a^x）其中x∈R
把x解出来可得x=㏒a（a^f（x）-1）
即f^-1（x）=㏒a（a^x-1）其中当0＜a＜1时,x＜0；当a＞1时,x＞0
（2）把（1）中得f（x）和f^-1（x）代入
可得不等式㏒a（1+a^x）≥㏒a（a^2x -1）
下面开始讨论
当0＜a＜1时
把两边的对数消去可得不等式1+a^x≤a^2x -1
（a^x -2）*（a^x +1）≥0
故a^x≥2,即x≤㏒a2
当a＞1时
把两边的对数消去可得不等式1+a^x≥a^2x -1
（a^x -2）*（a^x +1）≤0
故a^x≤2,即x≤㏒a2
综上所述x≤㏒a2 其中a＞0且a≠1