试讨论函数 f（x）=根号下1－x²在区间【﹣1,1】上的单调性.

题目

试讨论函数 f（x）=根号下1－x²在区间【﹣1,1】上的单调性.

答案

方法一：（分析法）由x²在区间【0,1】上单调增,知：-x²在区间【0,1】上单调减,显然,1-x²在区间【0,1】上单调减,所以f（x）=根号下1－x²在区间【0,1】上单调减;
由x²在区间【-1,0】上单调减,知：-x²在区间【-1,0】上单调增,显然,1-x²在区间【-1,0】上单调增,所以f（x）=根号下1－x²在区间【-1,0】上单调增;
方法二:(作差法)在区间【﹣1,1】上任取不同的两数a,b,不妨令a0
f（a）-f（b）=√(1－a²)-√(1－b²)[分子有理化]
=[(1－a²)-(1－b²)]）/[√(1－a²)+√(1－b²)]=(b+a)(b-a)/[√(1－a²)+√(1－b²)]
当a,b∈【-1,0】时,b+a0,所以f（a）-f（b）0,所以f（a）-f（b）>0,即f（a）>f（b）,所以f（x）=根号下1－x²在区间【-1,0】上单调减；
因此,f（x）在[﹣1,0]是单调增,在[0,1]是单调减.