设f（x）=x2+ax是R上的偶函数． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上为增函数．

题目

设f（x）=x²+ax是R上的偶函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上为增函数．

答案

（I）对任意的x∈R，-x∈R，
∴f（-x）=（-x）²+a（-x），
即f（-x）=x²-ax，
又f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
即x²-ax=x²+ax，
∴-a=a，即a=0；
（ II）由（I）知f（x）=x²，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x12-x22=（x₁+x₂）（x₁-x₂），
∵x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂
∴x₂+x₁＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．