已知函数f(x)=(x-k)ex.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
题目
已知函数f(x)=(x-k)ex.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
答案
(Ⅰ)f′(x)=(x-k+1)e
x,
令f′(x)=0,得x=k-1,
f′(x)f(x)随x的变化情况如下:
x | (-∞,k-1) | k-1 | (k-1,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + |
f(x) | ↓ | -ek-1 | ↑ |
∴f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1),f(x)的单调递增区间(k-1,+∞);
(Ⅱ)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,
∴f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;
当0<k-1<1,即1<k<2时,由(I)知,f(x)在区间[0,k-1]上单调递减,f(x)在区间(k-1,1]上单调递增,
∴f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-e
k-1;
当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,
∴f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e;
综上所述f(x)
min=
.
(I)求导,令导数等于零,解方程,跟据f′(x)f(x)随x的变化情况即可求出函数的单调区间;(Ⅱ)根据(I),对k-1是否在区间[0,1]内进行讨论,从而求得f(x)在区间[0,1]上的最小值.
A:利用导数研究函数的单调性 B:利用导数求闭区间上函数的最值
此题是个中档题.考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题,对方程f'(x)=0根是否在区间[0,1]内进行讨论,体现了分类讨论的思想方法,增加了题目的难度.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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