设f（x）有二阶导数，且f′（x）≠0，x=g（y）与y=f（x）互为反函数，试用f′（x），f″（x）来表示g′（y），g″（y）．

题目

设f（x）有二阶导数，且f′（x）≠0，x=g（y）与y=f（x）互为反函数，试用f′（x），f″（x）来表示g′（y），g″（y）．

答案

由题意可知：
x=g（y）与y=f（x）互为反函数，
故：g′(y)＝

1

f′(x)

g″(y)＝

d

dy

g′(y)＝

d

dy

1

f′(x)

＝

d

dx

1

f′(x)

dx

dy

＝−

f″(x)

f′(x)2

1

f′(x)

＝−

f″(x)

f′(x)3