【高考】用分析法证明:若a>0,则根号(a^2+1/a^2)-根号2≥a+(1/a)-2
题目
【高考】用分析法证明:若a>0,则根号(a^2+1/a^2)-根号2≥a+(1/a)-2
答案
题目:【高考】用分析法证明:若a>0,则a^2+1/a^2 -√2>a+1/a-2.
证明:要证a^2+1/a^2 -√2>a+1/a-2.
只要证a^2+1/a^2 +2>a+1/a+√2.也即〖(a+1/a)〗^2>a+1/a+√2
令a+ 1/a=t,则不等式转化为t^2-t-√2>0,其中a+ 1/a=t≥2√a∙1/a=2.
令f(t)= t^2-t-√2,(t≥2)
配方得:f(t)=〖(t-1/2)〗^2-1/4-√2,所以二次函数的对称轴为x=1/2,所以f(t)在区间(1/2,+∞)为增函数.
因此〖f(t)〗_min=f(2)=2-√2>0.
所以:f(t)>0即a^2+1/a^2 -√2>a+1/a-2.(得证)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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