已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x). (1)求函数g(x)的定义域; (2)若f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,求不等式g(x)≤0的解集.
题目
已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函数g(x)的定义域;
(2)若f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,求不等式g(x)≤0的解集.
答案
(1)∵数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
∴
,∴
<x<
,函数g(x)的定义域(
,
).
(2)∵f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,不等式g(x)≤0,
∴f(x-1)≤-f(3-2x)=f(2x-3),∴
| −2<x−1<2 | −2<2x−3<2 | x−1≥2x−3 |
| |
,∴
<x≤2,
故不等式g(x)≤0的解集是 (
,2].
(1)由题意知,
,解此不等式组得出函数g(x)的定义域.
(2)等式g(x)≤0,即 f(x-1)≤-f(3-2x)=f(2x-3),有
| −2<x−1<2 | −2<2x−3<2 | x−1≥2x−3 |
| |
,解此不等式组,
可得结果.
函数的定义域及其求法;函数单调性的性质;函数奇偶性的性质.
本题考查函数的定义域的求法,利用函数的单调性和奇偶性解不等式,属于基础题.
举一反三
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