如果函数f(x)的定义域为(0,),且f(x)为增函数,f(xy)=f(x)+f(y)

题目

如果函数f(x)的定义域为(0,),且f(x)为增函数,f(xy)=f(x)+f(y)
(1)证明f(x/y)=f(x)-f(y) (2)已知f(3)=1,且f(a)>f（a-1)+2,求a的取值范围
定义域为（0，+∞)

答案

(1)、令y=1,则有f(x*1)=f(x)+f(1)=f(x)则可以推得f(1)=0
令y=(1/x),则有f(x/x)=f(x)+f(1/x)=f(1)=0则可以推得f(x)=-f(1/x)
同理f(y)=-f(1/y)推得f(1/y)=-f(y)
所以f(x/y)=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y)
（2）、f(9)=f(3*3)=f(3)+f(3)=1+1=2
所以由f(a)>f（a-1)+2可以看成是f(a)>f（a-1)+f(9)
而f（a-1)+f(9)=f(9a-9)
所以f(a)>f(9a-9)
再因为f(x)为增函数,所以a>9a-9
推出a