若函数f（x）=x3-ax2（a＞0）在区间(20/3，+∞)上是单调递增函数，则使方程f（x）=1000有整数解的实数a的个数是_．

题目

若函数f（x）=x³-ax²（a＞0）在区间(

20

3

，+∞)上是单调递增函数，则使方程f（x）=1000有整数解的实数a的个数是______．

答案

对f（x）求导得f'（x）=3x2-2ax令f'（x）≥0以求原函数的单调增区间得3x2-2ax≥0，解得x≤0或x≥23a．令f'（x）≤0以求原函数的单调减区间得3x2-2ax≤0，解得0≤x≤23a．由题意知，区间（203，+∞）处于增区间，故23...

先对函数求导，利用函数在区间(203，+∞)上是单调递增函数的条件得出参数的取值范围，再根据函数图象的特征判断出方程f（x）=1000的解存在的范围，采用分离常数法将f（x）=1000变为a=x-1000x2，构造一个新的函数g（x）=x-1000x2，研究其图象特征即可．

本题考点：函数的单调性与导数的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：本题考点是函数的单调性与导数的关系，考查了函数的单调性与导数的对应，以及方程有整数解时利用二分法的思想确定方程解的范围，本题的技巧性较强，有一定的难度．