guiqiu

题目

guiqiu

答案

【预测题】1、已知,在平行四边形OABC中,OA=5,AB=4,∠OCA=90°,动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式；
（2）试求出当t为何值时,△OAC与△PAQ相似；
（3）若⊙P的半径为 ,⊙Q的半径为 ；当⊙P与对角线AC相切时,判断⊙Q与直线AC、BC的位置关系,并求出Q点坐标.

（1）
（2）①当0≤t≤2.5时,P在OA上,若∠OAQ=90°时,
故此时△OAC与△PAQ不可能相似．
当t>2.5时,①若∠APQ=90°,则△APQ∽△OCA,

∵t>2.5,∴ 符合条件．
②若∠AQP=90°,则△APQ∽△∠OAC,

∵t>2.5,∴ 符合条件．
综上可知,当 时,△OAC与△APQ相似．
（3）⊙Q与直线AC、BC均相切,Q点坐标为（ ）.
【预测题】2、如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系．已知OA＝3,OC＝2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值；如果不存在,请说明理由．
（1） ； ．（2）在 中, ,
．
设点 的坐标为 ,其中 , 顶点 ,
∴设抛物线解析式为 ．
①如图①,当 时, , ．
解得 （舍去）； ． ． ．解得 ．
抛物线的解析式为
②如图②,当 时, , ．
解得 （舍去）．
③当 时, ,这种情况不存在．
综上所述,符合条件的抛物线解析式是 ．
（3）存在点 ,使得四边形 的周长最小．
如图③,作点 关于 轴的对称点 ,作点 关于
轴的对称点 ,连接 ,分别与 轴、 轴交于
点 ,则点 就是所求点．
, ．
． ．又 , ,此时四边形 的周长最小值是 ．
【预测题】3、如图,在边长为2的等边△ABC中,AD⊥BC,点P为边AB 上一个动点,过P点作PF//AC交线段BD于点F,作PG⊥AB交AD于点E,交线段CD于点G,设BP=x.
（1）①试判断BG与2BP的大小关系,并说明理由;
②用x的代数式表示线段DG的长,并写出自变量x的取值范围;
（2）记△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值;
（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似?如果能相似,请求出BP的长,如果不能,请说明理由.
（1）①在等边三角形ABC中,∠B＝60°,∵PG⊥AB,
∴∠BGP＝30°,∴BG＝2BP．
②∵PF／／AC,∴△PBF为等边三角形,∴BF＝PF＝PB＝x.
又∵BG＝2x,BD＝1,∴DG＝2x－1,∴0＜2x－1≤1,∴ .
（2）S= DE×DF=
=
当 时, .
（3）①如图1,若∠PFE＝Rt∠,则两三角形相似,
此时可得DF＝DG
即
解得： ．
②如图2,若∠PEF＝Rt∠,则两三角形相似,
此时可得DF＝ EF＝ BP,
即 ．解得： ．
【预测题】4、如图,二次函数 的图像经过点 ,
且与 轴交于点 .
（1）试求此二次函数的解析式；
（2）试证明： （其中 是原点）；
（3）若 是线段 上的一个动点（不与 、 重合）,过 作 轴的平行线,分别交此二次函数图像及 轴于 、 两点,试问：是否存在这样的点 ,使 ?若存在,请求出点 的坐标；若不存在,请说明理由.
（1）∵点 与 在二次函数图像上,
∴ ,解得 ,
∴二次函数解析式为 .
（2）过 作 轴于点 ,由（1）得 ,则在 中, ,又在 中, ,
∵ ,∴ .
（3）由 与 ,可得直线 的解析式为 ,
设 ,则 ,
∴ .∴ .
当 ,解得 （舍去）,∴ .
当 ,解得 （舍去）,∴ .
综上所述,存在满足条件的点,它们是 与 .
【预测题】5、如图1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝8厘米,点D在AC上,CD＝3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发,点P沿AC方向向点C匀速移动,速度为每秒k厘米,行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动,速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒 ,△DCQ的面积为y1平方厘米,△PCQ的面积为y2平方厘米．
（1）求y1与x的函数关系,并在图2中画出y1的图象；
（2）如图2,y2的图象是抛物线的一部分,其顶点坐标是（4,12）,求点P的速度及AC的长；
（3）在图2中,点G是x轴正半轴上一点（0＜OG＜6＝,过G作EF垂直于x轴,分别交y1、y2于点E、F．
①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；
②当0＜x＜6时,求线段EF长的最大值．
（1）∵ ,CD＝3,CQ＝x,∴ ．
图象如图所示．
（2）方法一： ,CP＝8k－xk,CQ＝x,
∴ ．∵抛物线顶点坐标是（4,12）,
∴ ．解得 ．则点P的速度每秒 厘米,AC＝12厘米．
方法二：观察图象知,当x=4时,△PCQ面积为12．
此时PC＝AC－AP＝8k－4k＝4k,CQ＝4．∴由 ,得 ．
解得 ．则点P的速度每秒 厘米,AC＝12厘米．
方法三：设y2的图象所在抛物线的解析式是 ．
∵图象过（0,0）,（4,12）,（8,0）,
∴ 解得 ∴ ． ①
∵ ,CP＝8k－xk,CQ＝x,∴ ． ②
比较①②得 .则点P的速度每秒 厘米,AC＝12厘米．
（3）①观察图象,知线段的长EF＝y2－y1,表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ面积）．②由⑵得 .（方法二, ）
∵EF＝y2－y1,∴EF＝ ,
∵二次项系数小于0,∴在 范围,当 时, 最大．
【预测题】6、如图,在 中, , 、 分别是边 、
上的两个动点（ 不与 、 重合）,且保持 ,以 为边,在点 的异侧作正方形 .
（1）试求 的面积；
（2）当边 与 重合时,求正方形 的边长；
（3）设 , 与正方形 重叠部分的面积为 ,试求 关于 的函数关系式,并写出定义域；
（4）当 是等腰三角形时,请直接写出 的长.
（1）过 作 于 ,∵ ,∴ .
则在 中, ,∴ .
（2）令此时正方形的边长为 ,则 ,解得 .
（3）当 时, .
当 时, .
（4） .
【预测题】7、如图已知点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线 上．
（1）求 、n；
（2）向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形A A′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为点C,试在 轴上找点D,使得以点B′、C、D为顶点的三角形与 相似．
（1）根据题意,得： 解得
（2）四边形A A′B′B为菱形,则A A′=B′B= AB=5
∵
=
∴ 向右平移5个单位的抛物线解析式为
（3）设D（x,0）根据题意,得：AB=5,
∵∠A=∠B B′A
ⅰ) △ABC∽△B′CD时,∠ABC=∠B′CD ,∴BD=6－x, 由 得 解得x=3, ∴D（3,0）
ⅱ）△ABC∽△B′DC时,
∴ 解得 ∴
【预测题】8、如 图,已知直角梯形ABCD中,AD‖BC,A B⊥BC ,AD＝2,AB＝8,
CD＝10．
（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发,以1cm/s的速度、沿B→A→D→C方向,向点C运动；动点Q从点C出发,以1cm/s的速度、沿C→D→A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒．问：①当点P在B→A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值,并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在,请说明理由；
②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值；若不存在,请说明理由．


在Rt△DCH中,

(2)①
经计算,PQ不平分梯形ABCD的面积
②


, -







【预测题】9、如图,⊙O的半径为1,等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（ ,0）, CAB=90°,AC=AB,顶点A在⊙O上运动．
（1）当点A在x轴上时,求点C的坐标；
（2）当点A运动到x轴的负半轴上时,试判断直线BC与⊙O位置关系,并说明理由；
（3）设点A的横坐标为x,△ABC的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值与最小值；
（4）当直线AB与⊙O相切时,求AB所在直线对应的函数关系式．
（1）当点A的坐标为（1,0）时,AB=AC= －1,点C的坐标为（1, －1）；
当点A的坐标为（－1,0）时,AB=AC= ＋1,点C的坐标为（－1, ＋1）；
（2）直线BC与⊙O相切,过点O作OM⊥BC于点M,∴∠OBM＝∠BOM=45°,
∴OM=OB•sin45°=1,∴直线BC与⊙O相切
（3）过点A作AE⊥OB于点E
在Rt△OAE中,AE2=OA2－OE2=1－x2,
在Rt△BAE中,AB2=AE2+BE2=(1-x2) +（ -x）2=3-2 x
∴S= AB•AC= AB2= (3-2 x)=
其中－1≤x≤1,
当x=－1时,S的最大值为 ,
当x=1时,S的最小值为 ．
（4）①当点A位于第一象限时(如右图)：
连接OA,并过点A作AE⊥OB于点E
∵直线AB与⊙O相切,∴∠OAB=90°,
又∵∠CAB=90°,∴∠CAB+∠OAB=180°,
∴点O、A、C在同一条直线上,∴∠AOB=∠C=45°,
在Rt△OAE中,OE=AE= ．点A的坐标为（ , ）
过A、B两点的直线为y=－x+ ．
②当点A位于第四象限时(如右图)
点A的坐标为（ ,－ ）,过A、B两点的直线为y=x－ ．
【预测题】10、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长（OB