设d是由x^2+y^2=1,x=0,y=0所围成区域在第一象限内部分,求二重积分 ∫∫（1/1+x^2+y^2）dxdy.

题目

设d是由x^2+y^2=1,x=0,y=0所围成区域在第一象限内部分,求二重积分 ∫∫（1/1+x^2+y^2）dxdy.

答案

使用极坐标来做比较简单,
令x=r*sina,y=r*cosa,
则x^2+y^2=r^2,
而积分区域D是由x^2+y^2=1,x=0,y=0所围成区域在第一象限内部分,
所以r的范围是0到1,而角度a的范围是0到π/2
故原积分
= ∫∫ 1/(1+x^2+y^2) dxdy
= ∫∫ r /(1+r^2) dr da
= ∫(上限1,下限0) r /(1+r^2) dr * ∫(上限π/2,下限0) da
显然
∫(上限1,下限0) r /(1+r^2) dr
= 0.5 *∫(上限1,下限0) 1 /(1+r^2) d(r^2)
= 0.5ln|(1+r^2)| 代入上限1,下限0
=0.5ln2
而
∫(上限π/2,下限0) da= π/2
所以
原积分= 0.5ln2 * π/2 = (π/4) * ln2