已知数列{an},an∈N*,前n项和Sn=1/8(an+2)2. (1)求证:{an}是等差数列; (2)若bn=1/2an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.
题目
已知数列{a
n},a
n∈N
*,前n项和S
n=
(a
n+2)
2.
(1)求证:{a
n}是等差数列;
(2)若b
n=
a
n-30,求数列{b
n}的前n项和的最小值.
答案
(1)证明:∵a
n+1=S
n+1-S
n=
(a
n+1+2)
2-
(a
n+2)
2,
∴8a
n+1=(a
n+1+2)
2-(a
n+2)
2,
∴(a
n+1-2)
2-(a
n+2)
2=0,(a
n+1+a
n)(a
n+1-a
n-4)=0.
∵a
n∈N
*,∴a
n+1+a
n≠0,
∴a
n+1-a
n-4=0.
即a
n+1-a
n=4,∴数列{a
n}是等差数列.
(2)由(1)知a
1=S
1=
(a
1+2)
2,解得a
1=2.∴a
n=4n-2,
b
n=
a
n-30=2n-31,(以下用两种方法求解)
法一:
由b
n=2n-31可得:首项b
1=-29,公差d=2
∴数列{b
n}的前n项和s
n=n
2-30n=(n-15)
2-225
∴当n=15时,s
n=225为最小;
法二:
由
0得
≤n≤
.∵n∈N
*,∴n=15,
∴{a
n}前15项为负值,以后各项均为正值.
∴S
15最小.又b
1=-29,
∴S
15=
=-225
本题考查数列的通项与其前n项和的关系、等差数列的证明、数列的求和等综合性问题.
(1)根据a
n+1=S
n+1-S
n及前n项和S
n=
(a
n+2)
2,可以得到(a
n+1+a
n)(a
n+1-a
n-4)=0,从而问题得证.
(2)由(1)可得数列{a
n}的通项公式,进而由b
n=
a
n-30得到数列{b
n}的通项公式,然后可求数列{b
n}的前n项和,再由此求其最小值,最小值有两种求法,其一是转化为二次函数的最值,其二是找出正负转折的项.
等差关系的确定;数列的求和.
本题的(2)中求sn的最值问题是数列中较为常见的一种类型,主要方法有两种:
法一只适用于等差数列的和的最值问题,对于其他数列,因为不能转化为关于n的二次函数,所以无法使用,有一定的局限性;
法二是常规方法,使用范围广,其特点是找到递增或递减的数列中正项和负项的转折“点”而得到答案.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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