设a为有理数,x为无理数.证明：a+x为无理数 a为零时 ax是无理数

题目

设a为有理数,x为无理数.证明：a+x为无理数 a为零时 ax是无理数

答案

a不为0吧?
证明：(1)假设b=a+x为有理数,则
x=b-a.
又因为a为有理数,
所以 x=b-a为有理数,与x为无理数矛盾.
故假设不成立,即
a+x为无理数.
(2)当a不为0时,假设c=ax为有理数,则
x=c/a
又因为a为有理数,
所以 x=c/a为有理数,与x为无理数矛盾.
故假设不成立,即
ax为无理数.
= = = = = = =
证明无理数多用反证法.