在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱长为3,E、F分别是AB1、CB1的中点,求证:平面D1EF⊥平面AB1C.
题目
在长方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中,底面ABCD是边长为
的正方形,侧棱长为
,E、F分别是AB
1、CB
1的中点,求证:平面D
1EF⊥平面AB
1C.
答案
证明:如图,∵E、F分别是AB
1、CB
1的中点,
∴EF∥AC.
∵AB
1=CB
1,
O为AC的中点,
∴B
1O⊥AC.
故B
1O⊥EF.
在Rt△B
1BO中,∵BB
1=
,BO=1,
∴∠BB
1O=30°.从而∠OB
1D
1=60°,又B
1D
1=2,B
1O
1=
OB
1=1(O
1为B
1O与EF的交点).
∴△D
1B
1O
1是直角三角形,即B
1O⊥D
1O
1.
∴B
1O⊥平面D
1EF.又B
1O⊂平面ACB
1,
∴平面D
1EF⊥平面AB
1C.
欲证平面D1EF⊥平面AB1C,根据面面垂直的判定定理可知在平面AB1C内一直线与平面D1EF垂直,而B1O⊥EF,B1O⊥D1O1根据线面垂直的判定定理可知B1O⊥平面D1EF,满足定理条件.
平面与平面垂直的判定.
本小题主要考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查转化思想,属于基础题.
举一反三
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