已知函数f(x)=2的x次方—2的绝对值x次方分之1 （1）若f(x)=2,求x的值 （2）若2的t次幂乘以f（2t）+mf（t）=0对于t属于1到2的闭区间恒成立求实属m的取值范围

题目

已知函数f(x)=2的x次方—2的绝对值x次方分之1 （1）若f(x)=2,求x的值 （2）若2的t次幂乘以f（2t）+mf（t）=0对于t属于1到2的闭区间恒成立求实属m的取值范围

答案

若x=0,则f(x)=2^x-1/2^x 1由f(x)=2知,x>=0,令n=2^x,则n>=1 f(x)=n-1/n=2,得n^2-2n-1=0,则2^x=n=(2+2根号2)/2=1+根号2 则x=log2(1+根号2) 2令F(t)=2^tf(2t)+mf(t)=2^t(2^(2t)-1/2^(2t))+m(2^t-1/2^t) 令a=2^t,则当tE[1,2]时,aE[1,4] 则F(t)=m(a-1/a)+a^3-1/a>=0 且a>=1,则a-1/a>=0 则m>=(1/a-a^3)/(a-1/a),分子是a的减函数,分母是a的增函数 则只要m>=(1/4-4^3)/(4-1/4)即可 即m>=-17