等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960

题目

等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960
(1)求an与bn
(2)求和:1/S1 +1/S2 +……+1/Sn

答案

第一问：
设公差为d,公比为q
则b2=q,S2=a1+a2=3+3+d=6+d,b3=q^2,S3=a1+a2+a3=3+3+d+3+2d=9+3d
b2S2=q(6+d)=64,b3S3=q^2×(9+3d)=960,即q^2×(3+d)=320
由q(6+d)=64,得到6+d=64/q,则3+d=(64/q)-3,所以q^2×(3+d)=q^2×(64/q)-3q^2=64q-3q^2=320,所以q=40/3或q=8,但是当q=40/3的时候,d是负的,所以舍去
所以q=8,d=64/8-6=2
所以an=3+2(n-1)=2n+1,bn=1×8^(n-1)=8^(n-1)
第二问：
Sn=(3+2n+1)×n/2=n×(n+2)
所以1/Sn=1/[n×(n+2)]=(1/2)×(1/n-1/(n+2))
所以1/S1+……+1/Sn=1/2×(1/1-1/3+1/3-1/5+……+1/n-1/(n+2))=(1/2)×(1-1/(n+2))=(n+1)/(2n+4)