求用向量证明余弦定理的过程,和利用三角形面推倒正弦定理的过程

题目

求用向量证明余弦定理的过程,和利用三角形面推倒正弦定理的过程

答案

很容易
1)用向量证明余弦定理,
设平行四边形ABCD,则根据向量加法法则有
向量AB+向量AD=向量AC
两边平方,得
AB²+AD²+2AB*AD*cos∠BAD=AC²
∵cos∠BAD=-cos∠ABC,AD²=BC²
∴AB²+BC²-2AB*BC*cos∠ABC=AC²
得证!
2)在△ABC中,设AH是BC边上的高,
则sinB=AH/AB,sinC=AH/AC,
∴ABsinB=AH=ACsinC,
∴AB/sinC=AC/sinB
同理可证,
BC/sinA=AB/sinC,
∴AB/sinC=BC/sinA=CA/sinB,
此即正弦定理.
得证!