若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点在x轴上,过点(1.1/2)作圆x^2+y^2=1的切线

题目

若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点在x轴上,过点(1.1/2)作圆x^2+y^2=1的切线
切点分别为A,B直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程为多少?

答案

令点（1,1/2）为P,则容易证得：PO⊥AB.
而PO的斜率＝（1/2－0）/（1－0）＝1/2,　∴AB的斜率＝－2.
由点P的坐标（1、1/2）,圆的方程：x^2＋y^2＝1,得：
A、B中有一者是圆与x轴的交点,而这个交点的的坐标是（1,0）,∴AB过点（1,0）.
∴AB的方程为：y＝－2（x－1）,即：y＝－2x＋2.
∵椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2＝1的焦点在x轴上,∴椭圆的上顶点坐标是（0,b）.
∵直线AB过椭圆的上顶点,∴（0,b）满足直线AB的方程,得：b＝2,∴b^2＝4.
容易得到：椭圆的右焦点坐标是（√（a^2－b^2）,0）,而直线AB过该点,
∴0＝－2√（a^2－b^2）＋2＝0,∴a^2－b^2＝1,∴a^2＝1＋4＝5.
于是,满足条件的椭圆方程是：x^2/5＋y^2/4＝1.