椭圆x2/a2+y2/b2=1的两顶点A(a,0),B(0,b),右焦点F到直线AB的距离等于F到原点的距离,则离心率e的范围?

题目

椭圆x2/a2+y2/b2=1的两顶点A(a,0),B(0,b),右焦点F到直线AB的距离等于F到原点的距离,则离心率e的范围?

答案

AB所在直线方程为b/a*x+y-b=0
F坐标为(c,0)
那么,F到AB距离为|bc/a-b|/√((b/a)^2+1)=c
把b=√(a^2-c^2)带入上式,有
(1-c/a)√(a^2-c^2)=c/a√(2a^2-c^2)
两边平方,整理得a^4-2a^3c-2a^2c^2+2ac^3=0
a(a+c)(a^2-3ac+c^2)=0
a^2-3ac+c^2=0
e=c/a=(3-√5)/2（(3+√5)/2大于1,舍去）