已知函数f(x)=lg(ax2+2ax+1)的定义域为R,求实数a的取值范围.

已知函数f(x)=lg(ax2+2ax+1)的定义域为R,求实数a的取值范围.

题目
已知函数f(x)=lg(ax2+2ax+1)的定义域为R,求实数a的取值范围.
答案
∵函数f(x)=lg(ax2+2ax+1)的定义域为R,
∴说明对任意的实数x,都有ax2+2ax+1>0成立,
当a=0时,1>0显然成立,
当a≠0时,需要
a>0
△=(2a)2−4×a×1<0
,解得0<a<1.
综上,函数f(x)=lg(ax2+2ax+1)的定义域为R的实数a的取值范围是[0,1).
函数f(x)=lg(ax2+2ax+1)的定义域为R,则真数恒大于0,然后对a分类讨论进行求解,当a=0时满足题意,当a≠0时,利用二次函数的性质解题即可.

对数函数的定义域.

本题考查了函数的定义域及其求法,考查了分类讨论的数学思想方法和运算求解的能力,属于基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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