若关于x的不等式x2+9+|x2-3x|≥kx在[1,5]上恒成立,则实数k的范围为_.
题目
若关于x的不等式x2+9+|x2-3x|≥kx在[1,5]上恒成立,则实数k的范围为______.
答案
令f(x)=x
2+9+|x
2-3x|,x∈[1,5],则f(x)=
| f1 (x)=3x+9, x∈[1,3] | f2(x)=2x2−3x+9 , x∈(3,5] |
| |
,由已知,k只需小于或等于g(x)=
的最小值即可.
当x∈[1,3]时,g(x)=
=3+
≥6,
当x∈(3,5]时,g(x)=
=2x+
-3,g′(x)=(
)′=2-
>0,是增函数,g(x)>g(3)=6,
所以g(x)的最小值为6,所以k≤6.
故答案为:(-∞,6]
令f(x)=x
2+9+|x
2-3x|,x∈[1,5],由已知,k只需小于或等于g(x)=
的最小值即可.写出分段函数g(x)的函数解析式,求出其最小值即可解决.
一元二次不等式的解法.
本题考查不等式恒成立问题,考查分段函数的性质、参数分离的方法.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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