证明：3是无理数．

题目

证明：

3

是无理数．

答案

证明：假设3是有理数．∵1＜3＜2，∴3不是整数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得3=pq，于是p=3q．两边平方，得p2=3q2．∵3q2是3的倍数，∴p2是3的倍数，又∵p是正整数，∴p是3的倍数．设p=3k（k为正整数），代入...

运用反证法证明．假设

3

是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得

3

=

p

q

，那么可证p和q都是3的倍数，这与假设p，q互质矛盾，从而假设不成立，故结论成立．

本题考点：有理数无理数的概念与运算．

考点点评：本题考查了反证法．反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．应用反证法证明的具体步骤是：①反设：作出与求证结论相反的假设； ②归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；③结论：说明反设成立，从而肯定原命题成立．反证法在初中教材大纲中不作要求，本题属于竞赛题型，有一定难度．