a减b为素数,ab为完全平方数,a大于等于2012,求a的最小值

题目

a减b为素数,ab为完全平方数,a大于等于2012,求a的最小值

答案

假设A = (M+1)P、B = MP,A-B = P是素数的情况时,因M+1、M互质.
A*B = PM(M+1) 不可能为完全平方数.
因此由题意,A、B应分别是完全平方数、A-B为一素数.
A = M²
B = N²
M、N互质
A - B = (M+N)(M-N)=质数=M+N
则M-N = 1
√2012 = 44.8,则从M > 44.8的取值中使得
M+N = M+M-1 = 2M-1为质数的数M最小 = 45
因此A最小,A = 45*45 = 2025
B = 44*44=1936