已知:a+b+c=0,则a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)+3的值是 _.
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已知:a+b+c=0,则a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)+3的值是 _.
题目
已知:a+b+c=0,则
a(
1
b
+
1
c
)+b(
1
c
+
1
a
)+c(
1
a
+
1
答案
若a+b+c=0,则a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b
a(
1
b
+
1
c
)+b(
1
c
+
1
a
)+c(
1
a
+
1
b
)
=a•
b+c
bc
+b•
a+c
ac
+c•
a+b
ab
=a•
−a
bc
+b•
−b
ac
+c•
−c
ab
=−
a
3
+
b
3
+
c
3
abc
∵a
3
+b
3
+c
3
-3abc=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc)
∴当a+b+c=0时,a
3
+b
3
+c
3
-3abc=0
∴a
3
+b
3
+c
3
=3abc
∴原式=-3+3=0,
故答案为0.
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