已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率e=3,焦距为23.(1)求该双曲线方程.(2)是否定存在过点P(1,1)的直线l与该双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点?若存在,请
题目
已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率e=
,焦距为2
.
(1)求该双曲线方程.
(2)是否定存在过点P(1,1)的直线l与该双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点?若存在,请求出直线l的方程,若不存在,说明理由.
答案
(1)设双曲线方程为:
-=1(a,b>0)
由离心率e=
,焦距为2
,则c=
,a=1,b
2=c
2-a
2=2,
则双曲线方程为:x
2-
=1;
(2)假设存在过点P(1,1)的直线l与该双曲线交于A,B两点,
且点P是线段AB的中点.
设过P(1,1)的直线方程为:y-1=k(x-1),
A,B两点的坐标为(x
1,y
1),(x
2,y
2),
则2x
12-y
12=2,2x
22-y
22=2,
相减可得,2(x
1-x
2)(x
1+x
2)=(y
1-y
2)(y
1+y
2)
由P为AB的中点,则x
1+x
2=2,y
1+y
2=2,
则k=
=2,
即有直线AB的方程:y-1=2(x-1),即有y=2x-1,
代入双曲线方程2x
2-y
2=2,可得,2x
2-4x+3=0,
检验判别式为16-24<0,方程无解.
故不存在过点P(1,1)的直线l与该双曲线交于A,B两点,
且点P是线段AB的中点.
(1)设出双曲线方程,由条件可得c,再由离心率公式.可得a,再由a,b,c的关系,可得b,进而得到双曲线方程;
(2)假设存在,设过P(1,1)的直线方程为:y-1=k(x-1),A,B两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),代入双曲线方程,再相减,运用平方差公式和中点坐标公式,及斜率公式,即可得到所求直线的斜率,进而得到直线方程,检验判别式即可判断.
双曲线的简单性质
本题考查双曲线的方程、性质和运用,考查点差法求中点问题,注意检验判别式的符号,考查运算能力,属于中档题和易错题.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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