设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1. (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)讨论f(x)的极值.

设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1. (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)讨论f(x)的极值.

题目
设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)讨论f(x)的极值.
答案
由已知得f′(x)=6x[x-(a-1)],
令f′(x)=0,解得x1=0,x2=a-1.
(Ⅰ)当a=1时,f′(x)=6x2,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增
当a>1时,f′(x)=6x[x-(a-1)],f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:

从上表可知,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增;在(0,a-1)上单调递减;在(a-1,+∞)上单调递增.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
当a=1时,函数f(x)没有极值.
当a>1时,函数f(x)在x=0处取得极大值,在450处取得极小值1-(a-1)3
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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