简单虚数题~~

题目

简单虚数题~~
已知方程 X^2-(tanθ+i)x-(i+2)=0
1.若方程有实根,求θ及其两根
2.证明无论θ为何值,此方程不可能有纯虚数根

答案

1.
-2 - tanθ x + x^2 - i (1 + x) = 0
x为实数则
-2 - tanθ x + x^2 =0,
i (1 + x) =0
于是x=-1,
-2+tanθ+1=0,
tanθ=1,
θ=π/4+kπ,k为整数.
于是-2 - x + x^2 - i (1 + x) = 0,
(1 + x) (-2 - i + x)=0
x=-1,或x=2+i.
2.
假定tanθ为实数,否则该题错误.
若方程有纯虚数根,则
-2 - tanθ x + x^2 - i (1 + x)中
tanθ x为纯虚数,或0.
-2 + x^2 - i (1 + x)为实数,
所以
tanθ x只能为0,与x是纯虚数矛盾.所以此方程不可能有纯虚数根.