已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减. (1)求a的值; (2)记g(x)=bx2-1,若方程f(x)=g(x)的解集恰有3个元素,求b的取

已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减. (1)求a的值; (2)记g(x)=bx2-1,若方程f(x)=g(x)的解集恰有3个元素,求b的取

题目
已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减.
(1)求a的值;
(2)记g(x)=bx2-1,若方程f(x)=g(x)的解集恰有3个元素,求b的取值范围.
答案
(1)f′(x)=4x3-12x2+2ax,因为f(x)在[0,1]上递增,在[1,2]上递减,所以x=1是f(x)的极值点,
所以f′(1)=0,
即4×13-12×12+2a×1=0.
解得a=4,经检验满足题意,所以a=4.
(2)由f(x)=g(x)可得
x2(x2-4x+4-b)=0,
由题意知此方程有三个不相等的实数根,
此时x=0为方程的一实数根,则方程x2-4x+4-b=0应有两个不相等的非零实根,
所以△>0,且4-b≠0,
即(-4)2-4(4-b)>0且b≠4,
解得b>0且b≠4,
所以所求b的取值范围是(0,4)∪(4,+∞).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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