已知函数f(x)=ln(ax+1)+1−x1+x,x≥0,其中a>0.(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.
题目
已知函数f(x)=ln(ax+1)+
,x≥0,其中a>0.
(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)
f′(x)=-=,
∵f′(x)在x=1处取得极值,f′(1)=0
即 a+a-2=0,解得 a=1
(Ⅱ)
f′(x)=,
∵x≥0,a>0,
∴ax+1>0
①当a≥2时,在区间(0,+∞)上f′(x)>0.
∴f(x)的单调增区间为(0,+∞)
②当0<a<2时,由f′(x)>0解得
x>由
f′(x)<0解得x<∴f(x)的单调减区间为
(0,),单调增区间为
(,+∞)(Ⅲ)当a≥2时,由(II)知,f(x)的最小值为f(0)=1
当0<a<2时,由(II)②知,
f(x)在x=处取得最小值
f()<f(0)=1,
综上可知,若f(x)的最小值为1,则a的取值范围是[2,+∞)
(Ⅰ)对函数求导,令f′(1)=0,即可解出a值.
(Ⅱ)f′(x)>0,对a的取值范围进行讨论,分类解出单调区间.a≥2时,在区间(0,+∞)上是增函数,
(Ⅲ)由(2)的结论根据单调性确定出最小值,当a≥2时,由(II)知,f(x)的最小值为f(0)=1,恒成立;当0<a<2时,判断知最小值小于1,此时a无解.当0<a<2时,(x)的单调减区间为
(0,),单调增区间为
()利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
考查导数法求单调区间与求最值,本类题型是导数的主要运用.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- op hi wy kl组单词,每组只能要一个字母
- 0.1000mol某烃与1.500mol氧气(过量)混合,充分燃烧后,生成的气体通过足量的Na2O2固体,固体增重23.40g.从Na2O2中逸出的全部气体在标准状况下为24.64L.
- 写一篇英语作文主题是city life or country life
- 英语翻译
- 如图C、D、E为线段AB上的三点,且AC=二分之一CD,E为BD的中点,DE=五分之一AB=2,求CE的长(用直线,射线,线段
- 某校甲、乙两班93名同学响应共青团中央发起的“保护母亲河行动”,开展了“节约5元钱,捐植一棵树”活动,共捐款695元,其中甲班3分之2的同学和乙班3分之1的同学每人捐植2棵树(即每人捐款10元),其余
- the movie star goes ,there are lots of fans waiting to see her.A WHATEVER B HOWEVER C WHEREVER
- 心字代表什么用意
- 【化学计算题】求过程3题.
- 小明的爷爷今年的年龄加上27后缩小4倍再减去15之后扩大10倍恰恰是100岁请你算一算小明爷爷多少岁
热门考点