设AB是过椭圆x^2/9+y^2/25=1中心的弦,F1是椭圆上的焦点,求△ABF1面积的最大值

题目

设AB是过椭圆x^2/9+y^2/25=1中心的弦,F1是椭圆上的焦点,求△ABF1面积的最大值

答案

a=5、b=3,则c=4.
焦点在y轴上,设F1(0,4),设AB的斜率为k.
AB的方程为：y=kx.代入椭圆方程得：(25+k^2)x^2-225=0.x1+x2=0、x1x2=-225/(25+k^2).
[AB]=√(1+k^2)√[(x1+x2)^2-4x1x2]=30√(1+k^2)[1/√(25+k^2)]=30√(1+k^2)/(25+k^2).
F1到AB的距离=4/√(1+k^2).
△ABF1=60/√(25+k^2)<=12,当且仅当k=0时等号成立.
所以,△ABF1面积的最大值12.