已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是?我的想法是先求导得到lnx-2ax+1=0,

已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是?我的想法是先求导得到lnx-2ax+1=0,

题目
已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是?我的想法是先求导得到lnx-2ax+1=0,
答案
根据极值点与导函数的关系,意思就是说这个函数的导函数在定义域内穿过X轴两次
原函数求导后f‘(x)=lnx-2ax+1 意思是说,令这个导函数=0即构造方程lnx-2ax+1=0有两个不同解
另g(x)=lnx-2ax+1 g'(x)=1/x-2a 令g'(x)=0得x=1/2a 定义域为x∈(0,正无穷)
1、当a小于或0时显然g’(x)大于0恒成立,此时g(x)=lnx-2ax+1单调递增,不可能穿过x轴两次,不成立!
2、a大于0时,g(x)在(0,1/2a)递增,在(1/2a,正无穷)递减,且x趋近于0与x趋近于正无穷是g(x)均趋近于负无穷,故要使g(x)有两个不同解,只需g(1/2a )大于0即可,代入后即ln(1/2a)>0
结合上述a大于0可解得a属于(0,1/2)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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