已知等比数列{an}中，a1=1/3，公比q=1/3．（Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=1-an2（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．

题目

已知等比数列{a_n}中，a₁=

1

3

答案

证明：（I）∵数列{a_n}为等比数列，a₁=

1

3

，q=

1

3

∴a_n=

1

3

×(

1

3

)n-1=

1

3n

，
S_n=

1 3 (1-  1 3n )

1- 1 3

=

1- 1 3n

2

又∵

1-an

2

=

1- 1 3n

2

=S_n
∴S_n=

1-an

2

（II）∵a_n=

1

3n

∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-log₃3+（-2log₃3）+…+（-nlog₃3）
=-（1+2+…+n）
=-

n(n+1)

2

∴数列{b_n}的通项公式为：b_n=-

n(n+1)

2