已知双曲线的中心在原点,焦点F1和F2在坐标轴上,离心率为根号2,且过点（4,-根号10）

题目

已知双曲线的中心在原点,焦点F1和F2在坐标轴上,离心率为根号2,且过点（4,-根号10）
（1）求双曲线方程
（2）若点M（3,m）在双曲线上,求证MF1⊥MF2
(3) 求三角形F1MF2的面积

答案

1）设方程为 x²/a²-y²/b²=1
∵c²/a²=e²=2 b²=c²-a² ∴b²=2a²-a²=a²
16/a²-10/a²=1 => a²=6 【若计算得a²为负数,则焦点在y轴】
∴方程 x²/6-y²/6=1 为所求.
2）xm=3时,ym=m=±√(9-6)=±√3 (即ym'=√3；ym''=-√3)
∵F1(-√12,0) ； F2(√12,0)
∴M'F1的斜率 k(m'f1)=(ym'-yf1)/(xm'-xf1)=(√3-0)/(3+√12)=2-√3
M'F2的斜率 k(m'f2)=(ym'-yf2)/(xm'-xf2)=(√3-0)/(3-√12)=-2-√3
而2-√3=-1/(-2-√3)
∴M'F1⊥M'F2
同理 M"F1⊥M"F2
∴MF1⊥MF2
∴向量MF1与向量MF2的点积为零.
3）|F1F2|=2√12 |ym|=√3
∴S⊿F1MF2=(|F1F2|*|ym|)/2=2√12*√3/2=6