在梯形ABCD中,AD平行BC,AB=DC=AD,∠ADC=120°（1）求证：BD垂直DC.（2）若AB=2,求梯形ABCD的面积.

题目

在梯形ABCD中,AD平行BC,AB=DC=AD,∠ADC=120°（1）求证：BD垂直DC.（2）若AB=2,求梯形ABCD的面积.

答案

1、证明：
∵AD∥BC
∴∠ADC+∠C＝180
∵∠ADC＝120
∴∠C＝180-∠ADC＝60
∵AB＝CD
∴等腰梯形ABCD
∴∠BAD＝∠ADC＝120,∠ABC＝∠C＝60
∵AD∥BC
∴∠ADB＝∠CBD
∵AD＝AB
∴∠ABD＝∠ADB
∴∠ABD＝∠CBD
∴∠ABC＝2∠ABD
∴∠ABD＝30
∴∠CBD＝30
∴∠CBD+∠C＝90
∴BD⊥CD
过点A作AE⊥BD于E
∵AD＝AB,AE⊥BD
∴BE＝DE＝BD/2
∵AB＝2,∠ABD＝30
∴AE＝1,BE＝√3
∴BD＝2√3
∴S△ABD＝BD×AE/2＝2√3×1/2＝√3
∵BD⊥CD,∠CBD＝30
∴CD＝BD×√3/3＝2
∴S△BCD＝BD×CD/2＝2√3×2/2＝2√3
∴S梯形＝S△ABD+ S△BCD＝3√3