如图，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2． （1）求证：AO⊥平面BCD； （2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．

题目

如图，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．

（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．

答案

（1）证明：△ABD中∵AB=AD=2，O是BD中点，BD=2∴AO⊥BD 且 AO=AB2-BO2=1△BCD中，连结OC∵BC=DC=2∴CO⊥BD 且 CO=BC2-BO2=3△AOC中 AO=1，CO=3，AC=2∴AO 2+CO2=AC2 故 AO...

（1）连接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由题设知AO=1，CO=

3

，AC=2，故AO²+CO²=AC²，由此能够证明AO⊥平面BCD．
（2）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，EM=

1

2

AB=

2

2

，OE=

1

2

DC=1，由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦．

本题考点：直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．

考点点评：本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题．