椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)的左右焦点F1、F2 ,过F1的直线l与椭圆交于A、B两点

题目

椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)的左右焦点F1、F2 ,过F1的直线l与椭圆交于A、B两点
(1)若│OA│=│F1A│=c,求椭圆的离心率

答案

答：
椭圆x²/a²+y²/b²=1的左右焦点为F1（-c,0）,F2（c,0）
所以：OF1=c
因为：|OA|=|F1A|=|OF1|=c
所以：△OF1A是等边三角形
所以：∠AF1O=60°
所以：直线AB的斜率k=tan60°=√3
因为：F2O=F1O=c
所以：△F1AF2是直角三角形,∠F1AF2=90°
所以：F2A=√3F1A=√3c
因为：F2A+F1A=2a
所以：√3c+c=2a
解得：e=c/a=2/(√3+1)=√3-1
所以：e=√3 -1