已知抛物线方程为y^2=2p(x+1)(p>0),直线l:x+y=m过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3,求p的值

题目

已知抛物线方程为y^2=2p(x+1)(p>0),直线l:x+y=m过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3,求p的值

答案

顶点(-1,0)
开口向右
则准线是x=-1-p/2
焦点(-1+p/2,0)
则-1+p/2+0=m
所以y=-x+m=-x-1+p/2
代入
x^2+x(2-p)+(1-p/2)^2=2px+2p
x^2+x(2-3p)+(1-p/2)^2-2p=0
x1+x2=3p-2
设弦是AB
则AB到焦点距离等于到准线距离
所以AB=(x1+1+p/2)+(x2+1+p/2)=3
x1+x2+2+p=3
3p-2+2+p=3
p=3/4