用0~9这十个数字组成能被11整除的十位数,求这类中最大者和最小者?

题目

用0~9这十个数字组成能被11整除的十位数,求这类中最大者和最小者?
不能重复

答案

最大为9876524130,最小为1024375869.
我们都知道,能被11整除的数的特征是：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数.（包括0）
设组成的数的奇数位上的数字之和为x,偶数位上的数字之和为y.
则,x+y=0+1+2+…+9=45
x-y或y-x=0,11,22 （最大绝对值不会超过22）
由x+y=45是奇数,根据数的奇偶性可知x-y也是奇数,所以x-y=11或-11.
解方程 x+y=45
x-y=11或-11 得x=28或17,y=17或28.
为排出最大的十位数,前几位尽量选用9,8,7,6 所以应取x=28,y=17.
这时,奇数位上另三位数字之和为：28-（9+7）=12
偶数位上另三位数字之和为：17-（8+6）=3
所以,偶数位上的另三个数字只能是2,1,0；从而奇数位上的另三个数字为5,4,3.
由此得到最大的十位数是9876524130.
设所求最小数是102abcdefg
根据被11整除的数的性质,有：
(各位数字之和)-(1+2+b+d+f)×2 能被11整除或者等于0
∴39-(b+d+f)×2 能被11整除或者等于0
∵b、d、f只能从3、4、5、6、7、8、9中取值
∴-9≤39-(b+d+f)×2≤15
∴39-(b+d+f)×2=11或者0
当39-(b+d+f)×2=0时,无解.
当39-(b+d+f)×2=11时
b+d+f=14
可见,b、d、f的组合是3、4、7或者3、5、6
①当b、d、f的组合是3、4、7时,
对应的a、c、e、g的组合是5、6、8、9
从此得出的最小数是1025364879
② 当b、d、f的组合是3、5、6时,
对应的a、c、e、g的组合是4、7、8、9
从此得出的最小数是1024375869
③比较1024375869和1025364879
1024375869就是楼主要求的最小数.