F1、F2是双曲线y^2/9-x^16=1的两个焦点,M是双曲线上一点,且|MF1|·|MF2|=32,求三角形△F1MF2的面积

题目

F1、F2是双曲线y^2/9-x^16=1的两个焦点,M是双曲线上一点,且|MF1|·|MF2|=32,求三角形△F1MF2的面积

答案

设MF1=m,MF2=n
F1F2=10
设∠F1MF2=θ
余弦定理：
10²=m²+n²-2mncosθ
100=(m-n)²+2mn-2mncosθ
100=(m-n)²+2mn(1-cosθ)
根据双曲线定义|m-n|=2a=6,mn=|MF1|·|MF2|=32
100=6²+2×32×(1-cosθ)
1-cosθ=1
cosθ=0
θ=π/2
∴S△F1MF2=1/2·|MF1|·|MF2|=1/2×32=16