已知函数f(x)=1/3x3−2x2+ax(a∈R,x∈R)在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直. (Ⅰ)求a的值和切线l的方程; (Ⅱ)设曲线y=f(x)上任一点处的切
题目
答案
(Ⅰ)∵
f(x)=x2−2x2+ax,
∴f
/(x)=x
2-4x+a.(2分)
∵在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直,
∴x
2-4x+a=-1有且只有一个实数根.
∴△=16-4(a+1)=0,
∴a=3.(4分)
∴x=2,
f(2)=.
∴切线l:
y−=−(x−2),即3x+3y-8=0.(7分)
(Ⅱ)∵f
/(x)=x
2-4x+3=(x-2)
2-1≥-1.(9分)
∴tanθ≥-1,(10分)
∵θ∈[0,π),
∴
θ∈[0,)∪[,π)(13分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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