在三角形中,满足cosA/2=2根号5/5,向量AB*向量AC=3,求ABC的面积；若AC+AB=6求BC的值

题目

在三角形中,满足cosA/2=2根号5/5,向量AB*向量AC=3,求ABC的面积；若AC+AB=6求BC的值

答案

第一个问题：
∵cos（A/2）＝2√5/5,∴［cos（A/2）］^2＝4/5,∴cosA＝2［cos（A/2）］^2－1＝3/5＞0,
∴A是锐角,∴sinA＝√［1－（cosA）^2］＝√（1－9/25）＝4/5.
∵cosA＝向量AB·向量AC/（｜向量AB｜｜向量AC｜）、cosA＝3/5,
∴向量AB·向量AC/（｜向量AB｜｜向量AC｜）＝3/5,∴3/（AB×AC）＝3/5,∴AB×AC＝5.
∴△ABC的面积＝（1/2）AB×ACsinA＝（1/2）×5×（4/5）＝2.
第二个问题：
由余弦定理,有：
BC^2＝AB^2＋AC^2－2AB×ACcosA＝（AB＋AC）^2－2AB×AC－2AB×ACcosA
＝36－2×5－2×5×（3/5）＝26－6＝20.
∴BC＝2√5.