已知一质量为m的质点,在x轴上运动,质点只受到指向原点的引力作用,引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比,即f=-k/x²,k是比例常数.设质点在X=A时的速度为零,则质点在X=A/4处的

题目

已知一质量为m的质点,在x轴上运动,质点只受到指向原点的引力作用,引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比,即f=-k/x²,k是比例常数.设质点在X=A时的速度为零,则质点在X=A/4处的速度大小为多少

答案

由动能定理知
质量由A到(A/4)的过程中,引力f的功W=质量动能的增量=(1/2)mV^2-0=(1/2)mV^2
元功 dW=fdx=-k(x^2)dx
以[A,A/4]为积分区间,积分得
W=(k/3)(A^3)-(k/3)[(A/4)^3]=(21/64)A^3
(1/2)mV^2=(21/64)A^3
V=(1/4)A*根号[21A/(2m)]