已知：a²=2-2a,b²=2-2b,a≠b,求（a²+b²）÷ab的值

题目

已知：a²=2-2a,b²=2-2b,a≠b,求（a²+b²）÷ab的值

答案

方法一：
将两个已知分别整理成：
a²+2a-2=0
b²+2b-2=0
所以a、b可以看作是一元二次方程x²+2x-2=0的两个根,根据根与系数的关系(即韦达定理)得：
a+b=-2
ab=-2
可得：
a²+b²
=(a+b)²-2ab
=(-2)²-2×(-2)
=4+4
=8
所以：
(a²+b²)÷ab
=8÷(-2)
=-4
方法二：
将两个已知分别整理成：
a²+2a-2=0
b²+2b-2=0
以上两式相减,得：
a²-b²+2a-2b=0
(a+b)(a-b)+2(a-b)=0
(a+b+2)(a-b)=0
由于a≠b,所以只能是：a+b+2=0,即a+b=-2,
将两个方程相加,得：
(a²+2a-2)+(b²+2b-2)=0
a²+b²+2(a+b)-4=0
得：a²+b²=8,
而
2ab=(a+b)²-(a²+b²)
=(-2)²-8
=4-8
=-4
得：ab=-2,
所以：
(a²+b²)÷ab
=8÷(-2)
=-4