若ab 不共线的非零向量,ab起点相同,t为何值时,a,tb,1/3(a+b)三向量的中点在一条直线上?

题目

若ab 不共线的非零向量,ab起点相同,t为何值时,a,tb,1/3(a+b)三向量的中点在一条直线上?

答案

是 终点在一条直线上 吧?
因为它们的终点共线,因此存在实数 x 使 a=txb+(1-x)/3*(a+b) ,
（这是三点共线的充要条件：A、B、C 共线的充要条件是 OA=xOB+(1-x)OC ）
化简得 (x+2)/3*a=(1-x+3tx)/3*b ,
由于 a、b 不共线,因此 (x+2)/3=0 ,且 (1-x+3tx)/3=0 ,
解得 x= -2 ,t= -1 .