求证：双曲线x^2-y^2=a^2上任意一点P到两焦点的距离的积等于P到这双曲线中心的距离的平方（a>0)

题目

求证：双曲线x^2-y^2=a^2上任意一点P到两焦点的距离的积等于P到这双曲线中心的距离的平方（a>0)

答案

设P点坐标为（x,y)
则P到原点的距离为 √(x^2-y^2)=√(2x^2-a^2)
所以P到原点的距离的平方为2x^2-a^2
化简该双曲线方程,得：x^2/a^2-y^2/a^2=1
根据双曲线的交半径公式,两交半径的乘积为
(ex-a)(ex+a)=(ex)^2-a^2
因为c^2=a^2+a^2=2a^2,所以c=(√2)a
e=c/a=√2
所以两交半径乘积为2x^2-a^2
所以P到原点的距离=两交半径的乘积（得证）