用定义证明函数f（x）=-x（的三次方）+1在（-∞,+∞）上为减函数.

题目

用定义证明函数f（x）=-x（的三次方）+1在（-∞,+∞）上为减函数.
请给出详细的解释和思路,

答案

设在R上x1f(x1)-f(x2)=[-x1^3+1]-[-x2^3+1]=x2^3-x1^3
=(x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2)
=(x2-x1)[(x2+x1/2)^2+3x1^2/4]
因为,x2-x1>0,(x2+x1/2)^2+3x1^2/4>0
所以,f(x1)-f(x2)>0
即：f(x)在（-无穷,+无穷）上是减函数.